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线性回归

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线性模型 ​

  • 给定n维输入
  • 线性模型有一个n维权重和一个标量偏差
  • 输出是输入的加权和

向量版本：

线性模型可以看做是单层神经网络 ​

衡量预估质量 ​

  • 比较真实值和预估值，比如房屋售价和估价
  • 假设是真实值，是估计值，我们可以比较

这个叫做平方损失

训练数据 ​

  • 收集一些数据点来决定参数值（权重和偏差），例如过去六个月卖的房子
  • 这被称之为训练数据，通常越多越好
  • 假设我们有n个样本，记为

参数学习 ​

  • 训练损失
  • 最小化损失来学习参数

显示解 ​

  • 将偏差加入权重
  • 损失是凸函数，所以最优解满足

基础优化算法 ​

梯度下降 ​

  • 挑选一个初始值
  • 重复迭代参数t=1,2,3
  • 沿梯度方向将增加损失函数值
  • 学习率：步长的超参数,人为指定的值
  • 不能选太小（计算梯度成本昂贵），也不能太大

小批量随机梯度下降 ​

  • 在整个训练集上算梯度太贵
  • 一个神经网络模型可能需要数分钟至数小时
  • 我们可以随机采样b个样本来近似损失
  • b是批量大小，另一个重要的超参数，不能太小（每次计算量太小，不适合并行来最大利用计算资源），也不能太大（内存消耗增加，浪费计算）

线性回归从零开始实现 ​

%matplotlib inline

Jupyter Notebook的魔法命令，让matplotlib绘制的图直接嵌入到Notebook单元格里，方便查看可视化效果

import torch

def synthetic_data(w, b, num_examples):
    """生成 y = Xw + b + 噪声。"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

根据带有噪声的线性模型构造一个人工数据集。我们使用线性模型参数和噪声项生成数据集标签：

  • num_examples是要生成的样本数量
  • torch.normal()函数用于生成服从正态分布（均值为0，标准差为1）的张量， 生成的张量形状为(num_examples,len(w))
  • torch.matmul()函数用于计算矩阵乘法
  • 再用torch.normal()函数生成一个与形状相同的张量，模拟真实数据中存在的噪声干扰
  • reshape(-1,1),-1表示自动计算该维度的大小，这里就是把调整为列向量形式（每个样本对应一个标签值，竖排）
print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), 
                labels.detach().numpy(), 1);
  • features[:,1]选取特征矩阵的全部行和第一列，用于作为散点图的横坐标数据
  • detach()用于分理出不需要计算梯度的部分，numpy()用于将张量转换为numpy数组，这样matplotlib才能绘图处理数据
  • 最后的1表示散点的大小
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i:min(i + batch_size, num_examples)]
        )
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

batch_size = 10

定义一个data_iter()函数，该函数接受批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量，用于后续学习训练时按批次喂入

  • range(num_examples)生成从0到num_examples-1的整数序列，list函数将其转换为列表indices，存储了所有样本的索引
  • 调用random库的shuffle函数，将indices列表打乱顺序
  • range函数的三个参数分别表示起始值、结束值和步长
  • 使用yield关键字，将特征矩阵features和标签向量labels按照batch_indices来选取对应的数据
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
print(X, '\n', y)
break
tensor([[-1.7636,  0.8131],
        [-1.1090, -0.1078],
        [ 1.6120,  0.9181],
        [-0.8033,  1.0371],
        [ 1.8760, -1.7128],
        [ 0.5852, -0.5707],
        [ 1.3522, -0.5764],
        [-0.0135,  1.7779],
        [-0.9822,  0.2218],
        [ 0.2937, -0.8818]]) 
 tensor([[-2.0831],
        [ 2.3468],
        [ 4.3073],
        [-0.9472],
        [13.7802],
        [ 7.2966],
        [ 8.8604],
        [-1.8829],
        [ 1.4912],
        [ 7.7952]])
w = torch.normal(0,0.01,size=(2,1),requires_grad=True)
b = torch.zeros(1,requires_grad=True)
def linreg(X,w,b):
    return torch.matmul(X,w) + b
def squared_loss(y_hat,y):
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2/2
def sgd(params,lr,batch_size):
    with torch.no_grad():
        for param in params: 
            param -= lr*param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()
  • 首先初始化模型参数，然后定义线性模型，定义损失函数，定义随机梯度下降（SGD）优化逻辑
  • sgd函数要给定所有的参数，在这里param包含了w和b，然后是学习率，最后是批量大小
  • with torch.no_grad():更新参数时，临时关闭自动求导
  • param -= lr*param.grad / batch_size按公式更新参数，lr是学习率，param.grad是参数的梯度
  • param.grad.zero_()更新完参数后，清空梯度，否则下次反向传播会累积梯度，导致计算错误
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # `X`和`y`的小批量损失
        # 因为`l`形状是(`batch_size`,) ，而不是一个标量。`l`中的所有元素被加到一起以此计算关于`w`, `b`的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
epoch 1, loss 0.038667
epoch 2, loss 0.000139
epoch 3, loss 0.000046
  • 学习率lr控制参数更新的步长，学习率是梯度下降的关键超参数，如果太大，参数更新可能会跨过最优解，模型不收敛；如果太小，训练会特别慢
  • 设置训练轮数num_epochs，一个Epoch意味着把所有训练数据都过一遍，更新一捆参数，这里只训练三轮，是为了演示流程
  • net = linreg指定了模型的前向计算函数，后续就可以用net(features, w, b)简洁调用线性回归的预测逻辑
  • 然后是定义损失函数
  • 外层循环是训练轮次控制，内层循环是小批量数据遍历和单次数据更新
  • l = loss(net(X, w, b), y)计算当前小批量的损失，先调用net(X,w,b)，即linreg(X,w,b),用当前的w和b对小批量特征X做预测，得到y_hat（预测值） 接着把y_hat和y传入loss函数，计算出这一批数据的损失
  • l.sum().backward()反向传播计算梯度，为参数更新做准备，计算l对w和b的梯度，并把梯度值存到w.grad和b.grad中
  • sgd([w, b], lr, batch_size) sgd是之前定义的函数
print(f'w的估计误差：{true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差：{true_b - b}')
  • 比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练结果
w的估计误差：tensor([5.7220e-05, 3.7909e-05], grad_fn=<SubBackward0>)
b的估计误差：tensor([0.0011], grad_fn=<RsubBackward1>)

线性回归的简洁实现 ​

  • 通过使用深度学习框架来简洁地实现线性回归模型 生成数据集
import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

true_w = torch.tensor([2,-3.4])
true_b = 4.2
features,labels = d2l.synthetic_data(true_w,true_b,1000)
  • features,labels = d2l.synthetic_data(true_w,true_b,1000)调用d2l库中synthetic_data函数生成模拟数据集，1000表示生成1000条数据样本
def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):
    """构造一个PyTorch数据迭代器。"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)
"""数据加载器"""
next(iter(data_iter))
  • load_array是一个自定义函数
  • data_arrays是包含features和labels的可迭代对象，通过*data_arrays解包的方式穿入TensorDataset,通常是像(feature,label)这样的形式
  • is_train是一个布尔值，用于决定数据是否进行打乱操作
  • dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)使用Pytorch的TensorDataset类，将传入的数据封装成一个数据集对象，它会把传入的张量按样本维度进行组合，方便后续按样本索引获取数据
  • 通过DataLoader类，基于前面创建的dataset,设置每次加载的批次大小以及是否打乱
  • next(iter(data_iter)) next函数获取这个迭代器的下一个元素，也就是下一批次的数据
from torch import nn
net = nn.Sequential(nn.Linear(2,1))
net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)
  • net = nn.Sequential(nn.Linear(2,1))用于定义神经网络，nn.Sequential是Pytorch中按顺序堆叠神经网络的容器，nn.Linear(2,1)是一个线性层，in_features = 2输入的特征向量维度为2，out_features = 1输出特征的维度是1，经过这个线性层计算后会输出一个一维的结果
  • 初始化模型参数，因为这个神经网络只有一个线性层，所以net[0]就表示这个线性层，weight.data.normal_(0, 0.01)让权重参数从均值为1，标准差为0.01的正态分布中随机采样获取初始值，net[0].bias.data.fill_(0)线性层的偏置bias全部设置为0
loss = nn.MSELoss()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)
  • 定义损失函数
  • 定义SGD优化器,torch.optim是Pytorch中用于优化算法的模块，传入的参数net.parameters()是之前定义的神经网络
num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X), y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')
  • 训练过程和之前十分类似，trainer.zero_grad()Pytorch中的张量会默认累积梯度，所以在每次计算并更新新的梯度之前要把之前的梯度清零，trainer.step()更新参数
epoch 1, loss 0.000221
epoch 2, loss 0.000099
epoch 3, loss 0.000098